Pasos para estudiar una función

1. Dominio de la función, prestando especial cuidado con:

  • Valores que anulan al denominador en funciones racionales.
  • Signo del radicando en las raíces de índice par.
  • Signo del argumento de los logaritmos.
  • Valores que anulan al coseno en funciones tipo tg(x) o sec(x).
  • Valores que anulan al seno en funciones tipo cotg(x) o cosec(x).
  • Funciones a trozos.

2. Puntos de corte con los ejes.

3. Simetría.

4. Periodicidad.

5. Asíntotas, distinguiendo tres tipos:

  • Verticales.
  • Horizontales.
  • Oblicuas.

6. Extremos relativos:

  • Estudiamos el dominio de la función:
    • Si el dominio son los reales, los únicos posibles extremos son los puntos críticos, es decir, los que anulan la primera derivada.
    • Si el dominio está formado por uno o más intervalos, tenemos que estudiar si los extremos finitos de los intervalos son extremos.
    • Si la función es a trozos, estudiamos cada intervalo del dominio como si fuese una única función y consideramos los extremos de éstos como posibles extremos.
  • Búsqueda de extremos:
    • Calculamos la derivada de la función.
    • Buscamos los posibles extremos: puntos en los que se anula la derivada.
    • Si la función no es derivable en algún punto del dominio, tendremos que comprobar si dicho punto es un extremo.
  • Estudiamos si los extremos son máximos o mínimos:
    • Si un punto crítico es un máximo, la segunda derivada en dicho punto es negativa.Si es un mínimo, es positiva.
    • Si la segunda derivada fuese nula podría tratarse de un punto de inflexión y tendríamos que seguir derivando.
    • Nota: para saber si un máximo (mínimo) es absoluto, hay que comprobar que no hay puntos del dominio para los cuales la función tenga un valor superior (inferior) que para el máximo (mínimo).

7. Monotonía:

  • Estudiamos el signo de la derivada en algún punto de los intervalos en que los puntos críticos dividen el dominio:
    • Si el signo es positivo: la función decrece en el intervalo al que pertenece el punto.
    • Si el signo es negativo: la función decrece.

8. Puntos de inflexión:

  • Calculamos la segunda derivada de la función.
  • Buscamos los puntos que anulan a la segunda derivada.
  • Si la tercera derivada es no nula en un posible punto de inflexión, entonces es un punto de inflexión.

9. Curvatura:

  • Estudiamos el signo de la segunda derivada en algún punto de los intervalos en que los puntos críticos dividen el dominio:
    • Si el signo es positivo: la función es cóncava en el intervalo al que pertenece el punto.
    • Si el signo es negativo: la función es convexa.
    • La forma más sencilla de comprobar la curvatura, es mediante la gráfica de la función.

10. Representación gráfica.